Penelitian dengan judul “Fungsi Kodiferensi Proses Moving Average dengan Inovasi $\alpha$-stable Simetris” dilakukan oleh Iqbal Kharisudin dibawah bimbingan Dr.rer.nat., Dedi Rosadi, M.Sc., Dr. Abdurakhman, M.Si., dan Dr. Suhartono, M.Sc. pada tahun 2018.

Berikut ini merupakan intisari dari penelitian tersebut.

INTISARI

Pada sebagian besar model statistika mempersyaratkan eksistensi momen orde kedua atau berbasis distribusi dengan varians berhingga. Melalui momen orde kedua dapat dikaji struktur dependensi dari model yang dibangun. Pada pemodelan runtun waktu dengan varians inovasi berhingga (misal model Gaussian), fungsi autokovarians dan fungsi autokorelasi (ACF) memegang peranan penting. Salah satu aplikasi ACF pada pemodelan runtun waktu Box-Jenkins adalah untuk identifikasi model. Pada model MA($q$), fungsi autokorelasi bernilai nol setelah lag ke-$q$. Sifat penting tersebut digunakan sebagai dasar untuk mengidentifikasi orde $q$ proses MA dari suatu data runtun waktu.

Pada pemodelan runtun waktu dengan asumsi stable kasus non Gaussian, $\alpha < 2$ (varians populasi tak berhingga), secara teoritis fungsi ACF tidak dapat digunakan, karena penggunaan ACF mempersyaratkan varians yang berhingga ($\sigma^{2}<\infty$. Oleh karena itu dalam pemodelan runtun waktu dengan asumsi stable digunakan alternatif fungsi dependensi yang lain, seperti fungsi kodiferensi (codifference) atau pun fungsi kovariasi (covariation). Permasalahan tentang fungsi kovariasi dan aplikasinya dibahas dalam Gallagher (2000, 2001). Dalam Rosadi dan Deistler (2011) dibahas sifat umum fungsi kodiferensi sampel untuk model linear stasioner dan sifat asimtotis untuk proses yang iid. Berdasarkan kajian literatur dan sepanjang pengetahuan penulis, kajian tentang sifat asimtotis fungsi kodiferensi sampel untuk model MA($q$) dengan asumsi inovasi berdistribusi stable simetris ($S\alpha S$ ) untuk $q\geq 1$ masih merupakan problem terbuka yang belum terjawab.

Dalam penelitian ini dikaji sifat fungsi kodiferensi, sifat fungsi kodiferensi sampel (estimator), dan bentuk closed form fungsi kovarians asimtotis normal dari fungsi kodiferensi sampel untuk model MA($q$) $S\alpha S$ . Dengan menggunakan fungsi kodiferensi sampel ternormalisasi, dapat didefinisikan fungsi autokodiferensi sampel (ACodF). Pada penelitian ini juga dikaji simulasi komputasional dan aplikasi fungsi autokodiferensi (ACodF) untuk identifikasi proses MA($q$) dengan inovasi Gaussian ($\alpha$) maupun $S\alpha S$ non Gaussian ($\alpha <2$) menggunakan interval konfidensi asimtotis.

Berdasarkan hasil penelitian diperoleh bahwa estimator fungsi kodiferensi ternormalisasi atau dalam disertasi ini disebut dengan fungsi autokodiferensi (ACodF) sampel proses MA($q$) $S\alpha S$ untuk $k > q$ secara asimtotis berdistribusi normal dengan varians bergantung pada koefisien model. Hal tersebut ditunjukkan dari bentuk closed form matriks kovarians asimtotis fungsi autokodiferensi sampel. Hasil tersebut dinyatakan dalam teorema dan akibat yang disajikan dalam pembahasan. Diperoleh bahwa bentuk matriks kovarians asimtotis fungsi kodiferensi sampel untuk proses MA($q$) $S\alpha S$ merupakan bentuk perluasan (generalisasi) dari bentuk matriks kovarians asimtotis fungsi kodiferensi sampel untuk kasus iid, dengan memandang koefisien-koefisien pada model MA sama dengan nol. Berdasarkan sifat tersebut dapat dilakukan inferensi terhadap ACodF sampel pada model MA($q$) $S\alpha S$ dengan membangun interval konfidensi estimator ACodF model ($q$) $S\alpha S$ untuk $k > q$. Interval konfidensi tersebut dapat digunakan untuk identifikasi proses MA($q$) $S\alpha S$ . Namun demikian, dalam praktik diketahui bahwa koefisien dari model adalah prameter yang belum diketahui. Oleh karena itu untuk keperluan aplikasi, diusulkan prosedur iteratif dalam identifikasi orde $q$ dari proses MA($q$) $S\alpha S$.

Kajian simulasi dilakukan untuk melihat sifat asimtotis fungsi kodiferensi sampel secara komputasional. Berdasarkan kajian simulasi diperoleh bahwa identifikasi orde $q$ dari proses MA(1) dan MA(2) dengan menggunakan batas interval konfidensi corrected $\hat{I}$ dari fungsi ACodF sampel dapat memperbaiki performa identifikasi orde yang seharusnya. Hasil identifikasi meningkat lebih baik dibandingkan dengan menggunakan ACF, fungsi autokovariasi (ACovF), maupun menggunakan ACodF dengan batas interval konfidensi MA(0), terutama jika ukuran sampel cukup besar (tidak kurang dari $100$). Diperoleh pula berdasarkan hasil simulasi bahwa penggunaan fungsi autokodiferensi sampel untuk identifikasi model MA($q$) dengan batas interval konfidensi ACodF corrected $\hat{I}$ lebih unggul sekitar $59,5%$ sampai dengan $86,8%$. Hal ini menunjukkan bahwa hasil simulasi mendukung sifat asimtotis fungsi kodiferensi sampel proses MA($q$). Pada bagian akhir, diberikan contoh aplikasi ACodF sampel untuk identifikasi berdasarkan prosedur iteratif pada data harga penutupan beberapa saham yang diperdagangkan di Indonesia.

Kata Kunci: ukuran dependensi, varians tak berhingga, $\alpha$-stable simetris, MA($q$)

$S\alpha S$ The research entitled  “The Codifference Function of Moving Average Processes With Symmetric $\alpha$-stable Innovation ” was conducted by Iqbal Kharisudin under the guidance of Dr.rer.nat., Dedi Rosadi, M.Sc., Dr. Abdurakhman, M.Si., and Dr. Suhartono, M.Sc. in 2018.

The following is the abstract of this research.

ABSTRACT

Most of statistical models require the existence of a second-order moment or based on the distribution with finite variance. We can study the dependency structure of the model based on second-order moment. In the time series modeling with finite variance innovation (eg Gaussian model), the autocorrelation function (ACF) plays an important role. One of the applications of ACF on Box-Jenkins time series modeling is for model identification. In the MA($q$) models, we found that the ACF values is zero after lag q. Such essential properties are used as a basis for identifying the MA process given by time-series data.

In the stable time series modeling, ACF function can not be used, because it requires finite variance ($\sigma <\infty$). Therefore, in the modeling of time series with stable assumptions we use alternative dependency measures, such as coddifference function or covariance function. The covariance function and its application were studied in Gallagher (2000, 2001). Rosadi and Deistler (2011) discussed the generalized form of the sample codifference functions for linear stationary models and its asymptotic property. The special case of iid process has also been discussed. Based on the literature review and the author’s knowledge, the study of samples codifference function and its asymptotic properties for MA($q$) model with symmetric $\alpha$-stable ($S\alpha S$) innovation are still an open problem.

In this research, we examine the properties of codifference function, its estimator, and the asymptotic properties of sample codifference function for MA($q$) $S\alpha S$. We can define the sample autocodifference (ACodF) by using sample normalized codifference function. In this study, we examine the computational simulation and application of sample autocodifference function (ACodF) for the identification of MA($q$) process with Gaussian ($\alpha = 2$) and $S\alpha S$ non Gaussian ($\alpha < 2$) innovation using asymptotic confidence intervals.

The main results of this research are the asymptotically normal distributed properties of the sample autocodifference function (ACodF, $\hat{I}(k)$) of MA($q$) $S\alpha S$ process for $k > q.$ We found that the sample ACodF for MA($q$) $S\alpha S$ process was asymptotically normal distributed with covariance matrix depends on its coefficients. These results are expressed in the theorems and corollary. The obtained results was an extension of the asymptotic property of the sample ACodF for the iid case. We can do inference about ACodF for MA($q$) $S\alpha S$  process based on these properties. For application purposes, we proposed an iterative procedure for the $q$ order identification of MA($q$) $S\alpha S$ process.

A simulation study was conducted to evaluate computationally the asymptotic properties of the sample ACodF. From the simulation, we found that the order identification of the MA(1) and MA(2) processes using the corrected confidence interval bounds $\hat{I}$ of the ACodF can improve the identification performance of the desired order. The model identification increases better than using ACF $\hat{\ro}$, auto-covariation (ACovF) $\hat{\lambda}$, or using ACodF by MA(0) confidence interval bound, especially if the sample size is large enough (no less than 100). Based on simulation study, we obtain these improvements are about $59,5%-86,8%$. These results are consistent with the asymptotic properties of sample ACodF for MA($q$) $S\alpha S$ process. In the last section, we discuss the application of the sample ACodF for MA model identification base on iterative procedure for returns of stock data in Indonesia.

Keywords: dependence measure, infinite variance, symmetric $\alpha$-stable, MA($q$)

Penelitian dengan judul “Karakterisasi Penyelesaian Sistem Kesetimbangan Linear Ditinjau Dari Matriks Atas Aljabar Maks-Plus Tersimetri” dilakukan oleh Gregoria Ariyanti dibawah bimbingan Dr. Ari Suparwanto, M.Si.  dan Dr. Budi Surodjo, M.Si. pada tahun 2018.

Berikut ini merupakan intisari dari penelitian tersebut.

INTISARI

Aljabar maks-plus adalah suatu struktur aljabar yang terdiri dari himpunan $\mathbb{R}_{\epsilon}=\mathbb{R}\cup \{-\epsilon\}$, dengan $\epsilon := -\infty$, dilengkapi operasi maksimum dan operasi penjumlahan. Elemen di dalam aljabar maks-plus yang bukan $\epsilon$ tidak mempunyai invers terhadap operasi penjumlahan. Untuk mengatasi hal tersebut, maka aljabar maksplus dikembangkan menjadi struktur yang lebih luas yang disebut aljabar maks-plus tersimetri. Di dalam aljabar maks-plus tersimetri, didefinisikan elemen invers terhadap operasi penjumlahan, sehingga dapat didefinisikan determinan suatu matriks atas aljabar maks-plus tersimetri. Hal ini merupakan kelebihan dari aljabar maksplus tersimetri, dibandingkan dengan aljabar maks-plus. Tujuan utama penelitian ini adalah ingin mengetahui karakterisasi penyelesaian sistem kesetimbangan linear ditinjau dari matriks atas aljabar maks-plus tersimetri. Adapun tujuan secara khusus yaitu mengeksplorasi matriks invertibel atas aljabar maks-plus tersimetri, menemukan syarat perlu atau syarat cukup untuk penyelesaian sistem kesetimbangan linear $A \otimes x\nabla b$ dengan $A$ matriks bukan persegi ($A\in M_{m\times n}\in S$ dengan $m\neq n$), menentukan nilai eigen dari matriks atas aljabar maks-plus tersimetri, dan mengembangkan diagonalisasi suatu matriks atas aljabar maks-plus tersimetri.

Untuk mengembangkan karakteristik matriks invertibel, dilakukan melalui mengeksplorasi matriks dengan mengacu pada sifat elemen di dalam aljabar maksplus tersimetri yang memiliki invers terhadap operasi $\oplus$, yang berakibat dapat didefinisikannya determinan. Relasi yang berlaku pada aljabar maks-plus tersimetri adalah relasi kesetimbangan, sehingga sistem linear atas aljabar maks-plus tersimetri tidak berbentuk persamaan tetapi berupa kesetimbangan. Oleh karena itu, sistem linear atas aljabar maks-plus tersimetri disebut sistem kesetimbangan linear. Untuk membangun syarat perlu dan cukup penyelesaian sistem kesetimbangan linear, dilakukan dengan meninjau matriks penyusun sistem kesetimbangan linear tersebut. Penyelesaian yang dimaksud adalah penyelesaian atas himpunan elemen positif, himpunan elemen negatif, dan himpunan elemen setimbang. Suatu matriks pada sistem kesetimbangan linear dapat difaktorkan dan salah satu proses faktorisasi matriks adalah diagonalisasi. Proses diagonalisasi matriks dapat dilakukan setelah ditentukannya nilai eigen dari matriks tersebut.

Dari hasil penelitian diperoleh bahwa suatu matriks $A$ atas aljabar maks-plus tersimetri invertibel jika dan hanya jika $\det^{+}A\ominus\det^{-}A\in S-S^{\ast}$. Untuk matriks $X$ yang memenuhi $A\otimes X\otimes A\nabla A$, sistem kesetimbangan linear $A\otimes x\nabla b$ mempunyai penyelesaian, yaitu $x=X\otimes b \oplus (E\ominus X \otimes A)\otimes h$ dengan $h$ sebarang, jika dan hanya jika $A\otimes X\otimes b\nabla b$. Untuk menentukan nilai eigen suatu matriks atas aljabar maks-plus tersimetri, tidak sesederhana seperti menentukan nilai eigen dalam aljabar konvensional. Oleh karena itu, diperlukan suatu langkah menentukan nilai eigen dengan menggunakan alat yang disebut Masalah Linear Komplementer Diperluas (Extended Linear Complementarity Problem atau ELCP). Persamaan karakteristik yang diperoleh dari suatu matriks atas aljabar maks-plus tersimetri dapat dibawa ke sistem kesetimbangan linear melalui ELCP. Akar persamaan karakteristik yang diperoleh akan merupakan penyelesaian dari sistem kesetimbangan linear, yang selanjutnya merupakan nilai eigen dari matriks tersebut.

Kata kunci : aljabar maks-plus tersimetri, sistem kesetimbangan linear, nilai eigen, diagonalisasi.

The research entitled  “N-soft Sets and Their Decision-Making Algorithms” was conducted by Fatia Fatimah under the guidance of Dr.rer.nat., Dedi Rosadi, S.Si., M.Sc., and Dr. Raden Bagus Fajriya Hakim, S.Si., M.Si. in 2018.

The following is the abstract of this research.

ABSTRACT

Decision-making uncertainty has been applied in various fields. Soft set is one of the theories that can handle the decision-making problems under uncertainty where its parameters as the benchmark of decision making. The parameters may be real numbers, words, sentences, functions and so on. Therefore, it is flexible in representing individual needs. In everyday life, data sets can be found in the form of probabilities or rankings. Unfortunately, there is no literature in soft sets for handling decision-making problems using probabilities or N ary rankings. Thus, this research discusses about decision-making approach using probabilistic soft sets and N-soft sets. The results are as follows. First, probabilistic soft sets is useful for decision making where its probability distributions based on parameters. Seven decision-making algorithms are proposed i.e., Probabilistic Soft Sets-Choice Values, Probabilistic Soft Sets-Minimax, Probabilistic Soft Sets-Opportunity Cost, Probabilistic Soft Sets-Weighted Choice Values, Probabilistic Soft Sets-Weighted Minimax, Probabilistic Soft Sets Weighted Opportunity Costs, and Probabilistic Soft Sets Positive Matrices. Second, dual probabilistic soft sets, as an adaptation of probabilistic soft sets, is necessary for handling decision-making problems where its probability distributions based on objects. Dual Probabilistic Soft Sets Positive Matrices algorithm is presented. Third, N-soft sets can handle decision making with binary or non-binary rankings. Three decision-making algorithms are introduced i.e., Extended Choice Values, Extended Weight Choice Values, and T-Extended Choice Values. They are applied to a real case study. Fourth, graded soft set, a special case of N-soft set, draws a bridge between decision making in soft set and social choice theory. Its decision-making mechanism using choice values coincides with the Borda count in voting.

Penelitian dengan judul “Pengambilan Keputusan dengan Pendekatan Probabilistic Soft Sets dan N-Soft Sets” dilakukan oleh Fatia Fatimah dibawah bimbingan Prof. Dr.rer.nat., Dedi Rosadi, S.Si., M.Sc. dan Dr. Raden Bagus Fajriya Hakim, S.Si., M.Si. pada tahun 2018.

Berikut ini merupakan intisari dari penelitian tersebut.

INTISARI

Pengambilan keputusan uncertainty telah diterapkan di berbagai bidang diantaranya statistika, ekonomi, sosial, medis dan sebagainya. Soft set merupakan salah satu teori yang dapat menangani masalah pengambilan keputusan uncertainty dengan parameter sebagai tolak ukur pengambilan keputusan. Parameter soft set dapat berupa angka, kata, kalimat, fungsi atau bentuk lainnya sehingga fleksibel dalam merepresentasikan kebutuhan individu. Dalam kehidupan sehari-hari dapat dijumpai himpunan data berupa probabilitas dan pemeringkatan. Namun penelitian terkait pengambilan keputusan soft set hanya membahas penilaian biner dan interval $[0,1]$ akan tetapi bukan probabilitas. Oleh karena itu, penelitian ini membahas tentang bagaimana bentuk pengambilan keputusan dengan pendekatan probabilistic soft sets dan N-soft sets. Berikut temuan hasil penelitian. Probabilistic soft sets berguna untuk pengambilan keputusan dimana distribusi probabilitas per parameter. Algoritma pengambilan keputusannya yaitu Probabilistic Soft Sets-Choice Values, Probabilistic Soft Sets-Minimax, Probabilistic Soft Sets-Opportunity Cost, Probabilistic Soft SetsWeighted Choice Values, Probabilistic Soft Sets-Weighted Minimax, Probabilistic Soft Sets-Weighted Opportunity Cost, dan Probabilistic Soft Sets-Positive Matrices. Dual probabilistic soft sets perlu untuk pengambilan keputusan dimana distribusi probabilitas per objek. Algoritma pengambilan keputusannya yaitu Dual Probabilistic Soft Sets-Positive Matrices. N-soft set dapat menangani pengambilan keputusan dengan pemeringkatan biner maupun non-biner. Algoritma pengambilan keputusannya yaitu Extended Choice Values, Extended Weight Choice Values, dan T-Extended Choice Values diterapkan pada data nyata. Graded soft set menjembatani keterhubungan pengambilan keputusan antara teori soft set dengan teori social choice. Pengambilan keputusan graded soft set sesuai dengan aturan Borda pada sistem voting.

Kata Kunci:  Pengambilan keputusan, Probabilistics soft sets, N-soft set

Penelitian dengan judul “Karakteristik Himpunan Potongan Dari Himpunan Fuzzy Bernilai Semilatis” dilakukan oleh Harina Orpa Lefina Monim dibawah bimbingan Prof. Dr. Sri Wahyuni, MS.  dan Dr. Indah Emilia W., M.Si. pada tahun 2018.

Berikut ini merupakan intisari dari penelitian tersebut.

INTISARI

Semilatis $(S,\leq)$ merupakan himpunan terurut parsial yang setiap pasang elemen mempunyai infimum atau supremum. Semilatis yang dilengkapi relasi ekuivalensi dengan definisi $p\sim_{M} q \iff \uparrow p \cap M=\uparrow q\cap M$ untuk setiap $p,q\in S$ dengan $M\subseteq S$, $M\neq \emptyset$ dan $\uparrow p, \uparrow q$ berturut-turut filter yang dibangkitkan oleh $p,q$ menyebabkan terbentuknya kelas-kelas ekuivalensi. Koleksi kelas-kelas ekuivalensi disebut himpunan kuosien dan dinotasikan $S/\sim_{M}$. Himpunan kuosien $S/\sim_{M}$ merupakan poset terhadap relasi urutan inklusi. Himpunan kuosien umumnya tidak membentuk semilatis.

Pada $\mu : X \rightarrow S$ himpunan fuzzy bernilai semilatis pada $X$ diambil $S$ semilatis yang dilengkapi dengan relasi ekivalensi $\sim_{M}$ seperti di atas. Untuk $p\in S$, himpunan bagian dari domain X disebut himpunan potongan $\mu_{p}=\{x\in X\mid p\leq \mu(x)\}$. Koleksi semua himpunan potongan yang dinotasikan dengan $\mu_{S}$, membentuk poset terhadap relasi inklusi. Invers fungsi $\mu$ dari $\uparrow p \cap M$, dinotasikan $\mu^{-1}(\uparrow p\cap M)$, menentukan fungsi karakteristik untuk setiap $p\in S$. Fungsi karakteristik dari $\mu^{-1}(\uparrow p\cap M)$ dengan $p\in S$ adalah $M_{p}: X\rightarrow \{0,p\}$ yang di definisikan:
\begin{equation*}
M_{p}=\begin{cases}
p, & x\in \mu^{-1}(\uparrow p\cap M)\vspace*{0.5cm}\\
0, & \text{lainnya.}
\end{cases}
\end{equation*}

Selanjutnya, koleksi fungsi karakteristik yang diindeks oleh $p\in S$ yaitu $\mathcal{M}_{S}=\{M_{p}\mid p\in S\}$, merupakan koleksi himpunan bagian dari himpunan tak kosong $X$. Koleksi $\mathcal{M}_{S}$ digunakan untuk membangun teorema sintesa melalui himpunan fuzzy bernilai semilatis $S$. Akan dikaji syarat cukup koleksi $\mathcal{M}_{S}=\{M_{p}\mid p\in S\}$ merupakan koleksi semua himpunan potongan dari $\mu \in S^{X}$. Pada sisi lain disajikan konsep sistem semi klosur dan sistem dualnya. Selanjutnya, diselidiki kapan koleksi semua potongan merupakan sistem semi klosur dan sistem dual semi klosur. Lebih lanjut lagi disajikan hubungan isomorfisma antara koleksi himpunan potongan dan koleksi bayangan. Berdasarkan sifat tersebut dikaji syarat perlu dan cukup koleksi potongan dari dua himpunan fuzzy bernilai semilatis $\mu, v\in S^{X}$.

Hasil yang diperoleh adalah koleksi potongan dari himpunan fuzzy bernilai semilatis $S$ merupakan keluarga himpunan bagian $\mathcal{M}_{S}=\{M_{p}\mid p\in S\}$ yang bersifat semi klosur yaitu klosur yang diperlemah atas himpunan tak kosong $X$. Hasil lainnya adalah dua himpunan fuzzy bernilai semilatis mempunyai koleksi potongan yang bersesuaian.

Kata-kata kunci: semilatis, himpunan fuzzy, himpunan potongan, sistem semi klosurdan sistem dual semi klosur.

The research entitled  “Analysis and Design of Input-Output Group Decoupling Problems for Regular Linear Descriptor System with Index One” was conducted by Arman under the guidance of Dr.rer.nat. Ari Suparwanto, M.Si. and Prof. Salmah, M.Si. in 2018.

The following is the abstract of this research.

ABSTRACT

In the control systems, every input is generally controls more than one output and every output can be controlled by more than one input. Such a system is called coupled system. In general, the coupling system is very difficult to control. It is also known that not all coupling systems can be converted into a decoupling system. Therefore it is necessary to design some compensator such that the coupling system can be converted into a decoupling system in the sense that every input controls only one output and every output is controlled by only one input. This problem is called the input-output decoupling problem.

In this research, the input-output decoupling problem for linear descriptor system was studied using geometric approach through controllability subspace. First, the necessary and sufficient condition for the input-output group decoupling of regular linear descriptor systems of index one is established. Furthermore, the characterization of the input-output group decoupling yields an equivalent forms for the input-output group decoupling of linear descriptor system with index one.

Then, based on the standard decomposition form, we discussed the problem of group decoupled structure for slow and fast subsystems using the controllability subspace. This construction presented some results that yield a matrix structure of group decoupled system for regular linear descriptor systems of index one. System with such structure is called the normal form for input-output group decoupling. The normal form of input-output group decoupling can be considered as an input-output decoupling system which is controllable consists of independently controllable subsystems.

Key words: linear descriptor systems, group decoupling, controllable subspaces

Penelitian dengan judul “Analisis dan Desain Untuk Masalah Input-Output Grup Decoupling Sistem Deskriptor Linear Regular Indeks Satu” dilakukan oleh Arman dibawah bimbinga Dr.rer.nat. Ari Suparwanto, M.Si. dan Prof. Dr. Salmah, M.Si. pada tahun 2018.

Berikut ini merupakan intisari dari penelitian tersebut.

INTISARI

Di dalam sistem kendali, setiap input secara umum mengendalikan lebih dari satu output dan setiap output dapat dikendalikan oleh lebih dari satu input. Sistem dengan sifat demikian disebut sistem coupling. Pada umumnya, sistem coupling sangat sulit untuk dikendalikan. Demikian juga diketahui bahwa tidak semua sistem coupling selalu dapat diubah ke dalam sistem decoupling. Oleh karena itu perlu didesain suatu kompensator sedemikian sehingga sistem coupling dapat diubah menjadi sistem decoupling, yaitu suatu sistem yang mempunyai sifat bahwa setiap input hanya mengendalikan satu output dan setiap output hanya dikendalikan oleh satu input. Masalah seperti ini dinamakan masalah input-output decoupling.

Dalam penelitian ini, masalah input-output decoupling untuk sistem deskriptor linear dikaji menggunakan pendekatan geometrik (geometric approach) melalui subruang keterkendalian (controllable subspace). Pertama, diberikan syarat perlu dan cukup untuk input output grup decoupling sistem deskriptor linear regular indeks satu. Selanjutnya dilakukan karakterisasi pada sistem inputoutput grup decoupling tersebut, sehingga menghasilkan bentuk-bentuk ekuivalen untuk masalah input-output grup decoupling sistem deskriptor linear regular indeks satu.

Kemudian berdasarkan bentuk dekomposisi standarnya, dikaji masalah struktur decoupling untuk masing-masing subsistem lambat dan subsistem cepat menggunakan subruang keterkendaliannya. Konstruksi ini menghasilkan matriks struktur dari sistem grup decoupling untuk sistem deskriptor linear regular indeks satu. Sistem dengan bentuk demikian dinamakan bentuk normal untuk inputoutput grup decoupling. Dengan bentuk seperti ini, maka masalah input-output grup decoupling dapat dipandang menjadi masalah input-output decoupling subsistem-subsistem terkendali yang saling bebas.

Kata kunci: sistem deskriptor linear, grup decoupling, subruang keterkendalian.

The research entitled  “A Characterization of Cut Set on Semilattice-Valued Fuzzy Sets” was conducted by Harina Orpa Lefina Monim under the guidance of Prof. Dr. Sri Wahyuni, MS.  and Dr. Indah Emilia W., M.Si. in 2018.

The following is the abstract of this research.

ABSTRACT

Semilattice $(S,\leq)$ is a partially ordered set which a pair of its elements have infimum or supremum. When it is equipped by an equivalence relation defines as $p\approx_{M} q \iff \uparrow p \cap M = \uparrow q \cap M$ for any $p, q \in S$ where $M\subseteq S, M\neq \emptyset$ and $\uparrow p$ and $\uparrow q$ are principle filters generated by $p,q$ respectively. Semilattice $S$ is partitioned into equivalence classes-$\approx M$. A collection of the classes-$\approx M$ forms a poset under inclusion. We call the collection as a quotient set and denoted $S/ \approx  M$. The quotient set is a poset under inclusion. Generally, the poset of a quotient set is not a semilattice.

On a semilattice valued fuzzy set $\mu: X\rightarrow S$, we replace $S$ by the semilattice $S$ equipped by relation $\approx_{M}$ on $S$ above. For any $p\in S$, a cut set will be defined by $\mu_{p}=\{x\in X \mid p\leq \mu(x)\}$. Then a collection of all of cut sets, denoted $\mu_{S}$, is a poset by inclusion. Inverse function of $\mu$ from $\uparrow p \cap M$, denoted $\mu^{-1}(\uparrow p\cap M)$, will determine a characteristic function for any $p\in S$. The characteristic function of $\mu^{-1}(\uparrow p\cap M)$ along with $p\in S$ is
\begin{equation*}
M_{p} : X\rightarrow {0,p},
\end{equation*}
by definition:
\begin{equation}
M_{p}(x)=\begin{cases}
p, & x\in \mu^{-1}(\uparrow p\cap M)\vspace*{0.2cm}\\
0, & \text{others.}
\end{cases}
\end{equation}

Furthermore, the collection of characteristic function indexed by $p\in S$, $\mathcal{M}_{S}=\{M_{p}\mid p\in S\}$, is a collection of all subsets of $X\neq 0$. We use this collection for a sinthesys theorem on the semillatice valued fuzzy set. We will investigate a sufficient and necessary condition for $\mathcal{M}_{S}$ to be the collection of all cuts sets of $\mu \in S^{X}$. On the other hand we will present a concept of semi closure system and its dual. Then we will present also the isomorphism between the two collections. Using this property we investigate sufficient and necessary conditions for two semilattices pvalued fuzzy sets to have a coincide collection of cuts sets.

The main result is a collection of cut sets of semilattice valued fuzzy sets is the family$\mathcal{M}_{S}=\{M_{p}\mid p\in S\}$. This family of cut sets is a semi closure system on $X$ when $S$ is a complete join semilattice. However, the family of cut sets is dual semi closure system on $X$ when $S$ is complete meet semilattice. Another result is any two of semilattice valued fuzzy sets $ \mu, v\in S^{X}$ have a coincide collection of cut sets.

Keywords: Semilattices, fuzzy sets, cuts, semi closure systems, and dual semi closure systems.

Penelitian dengan judul “Pengembangan Model Portofolio Mean-Variance Melalui Metode Estimasi Robust dan Optimasi Robust” dilakukan oleh Epha Diana Supandi dibawah bimbingan Prof.Dr. rer. nat. Dedi Rosadi, S.Si., M.Sc. dan Dr. Abdurakhman, S.Si., M.Si pada tahun 2018.

Berikut ini merupakan intisari dari penelitian tersebut.

INTISARI

Teori dasar pemilihan portofolio dicetuskan pertama kali oleh Markowitz (1952) yang menjelaskan konsep mean-variance (MV) dalam mengalokasikan asset dan managemen portofolio aktif. Vektor mean dan matriks variansi-kovariansi harus diketahui sebagai masukan dalam prosedur pembentukan portofolio optimal model MV sehingga perlu diestimasi. Estimasi parameter dapat dilakukan dengan berbagai pilihan teknik estimasi, yang pasti akan mengandung kesalahan estimasi (estimation error). Sebagai input yang sangat penting dalam pembentukan portofolio model mean-variance, kesalahan estimasi akan mempengaruhi hasil dari pembentukan portofolio optimal. Beberapa peneliti telah membangun suatu portofolio robust, yaitu portofolio yang dapat mengurangi kesalahan estimasi vektor mean dan matriks variansi-kovariansi pada portofolio model MV. Terdapat dua pendekatan standar dalam pembentukan portofolio robust optimal yaitu melalui pendekatan estimasi robust dan optimasi robust. Pembentukan portofolio optimal melalui pendekatan estimasi robust ini dilakukan dengan dua tahap. Pertama, tahap estimasi vektor mean dan matriks variansi-kovariansi melalui penduga robust. Kedua, setelah diperoleh penduga robust kemudian inputkan ke dalam model portofolio model MV, sehingga diperoleh portofolio estimasi robust model MV. Pada penelitian ini dipilih penduga robust yang memiliki breakdown yang tinggi yaitu penduga S, Constrained-M (CM) dan Fast Minimum Covariance Determinant (FMCD). Berbeda dengan pendekatan estimasi robust, pemikiran dasar dari optimasi robust adalah untuk mengurangi sensitivitas portofolio optimal akibat adanya ketidakpastian dalam mengestimasi vektor mean dan matriks variansi-kovariansi. Dalam optimasi portofolio robust, parameter inputnya dianggap tidak pasti, dalam hal ini terletak dalam sebuah himpunan ketidakpastian (uncertainty set). Selanjutnya, solusi optimal pada model ini diselesaikan pada kasus terburuk (worst case) terjadi yaitu pada saat expected return minimum dan risiko maksimum. Di dalam optimasi robust, himpunan ketidakpastian bagi parameter menentukan peran yang sangat penting. Sampai saat ini belum ada ketentuan yang jelas bagaimana menentukan himpunan ketidakpastian dengan tepat. Pada penelitian ini, dilakukan suatu pendekatan baru untuk mengkonstruksi himpunan ketidakpastian bagi vektor mean dan matriks varian-kovariansi yaitu menggunakan metode blok Bootstrap persentil. Metode ini tepat digunakan karena resampling yang dilakukan pada data (return) dibangun sedemikian rupa sehingga struktur ketergantungan antara data tidak hilang. Penentuan portofolio optimal pada kasus terburuk dalam optimasi robust merupakan salah satu kelemahan metode ini. Salah satu konsekuensi potensial dari pendekatan ini adalah keputusan sangat dipengaruhi dengan adanya pengamatan ekstrim (outlier) di himpunan ketidakpastian. Akibatnya portofolio tersebut cenderung terlalu pesimis dan tidak mampu mencapai hasil portofolio benar – benar optimal. Untuk mengatasi kendala tersebut, pada penelitian ini akan mengembangkan model portofolio optimasi robust MV yang digabungkan dengan penduga robust. Hasil dari penelitian ini adalah perumusan penduga tak bias bagi portofolio optimal model MV, perumusan model portofolio estimasi robust serta pengembangan model portofolio optimasi robust. Pada penelitian ini juga dibuat program komputasi untuk mempermudah end-user dalam memanfaatkan teori-teori yang dihasilkan. Selanjutnya model – model portofolio yang dihasilkan diaplikasikan pada data saham yang terdaftar sebagai saham blue chip. Tahap akhir penelitian ini yaitu melakukan perbandingan kinerja portofolio – portofolio tersebut dengan menggunakan analisis in-sample dan out-of-sample.

Kata kunci: portofolio mean-variance, penduga robust, optimasi robust, Bootstrap