Teorema Cayley merupakan salah satu hasil fundamental dalam aljabar abstrak, yang menunjukkan hubungan mendalam antara struktur grup dan semigrup dengan objek matematis lainnya, yaitu grup permutasi dan semigrup transformasi.
Teorema Cayley pada Grup
Teorema Cayley menyatakan bahwa setiap grup G isomorfis dengan suatu subgrup dari grup permutasi, yaitu grup yang terdiri dari fungsi bijektif (permutasi) pada himpunan G itu sendiri. Intinya, setiap grup dapat direpresentasikan sebagai grup permutasi elemen-elemennya, yaitu bahwa setiap elemen g di grup G dapat dikorespondensikan dengan fungsi fg yang membawa elemen x di G ke gx. Fungsi fg ini merupakan bijeksi, dan himpunan semua fungsi fg membentuk subgrup di dalam grup simetri SymG. Dengan demikian, G isomorfis dengan subgrup ini.
Teorema Cayley pada Semigrup
Untuk semigrup, hasil serupa berlaku dengan cakupan lebih umum. Setiap semigrup S dapat direpresentasikan sebagai subsemigrup dari semigrup transformasi penuh, yaitu himpunan semua fungsi dari S ke S terhadap operasi biner komposisi fungsi. Dalam kasus ini, teorema Cayley menyatakan bahwa selalu ada pemetaan homomorfisme injektif dari semigrup S ke semigrup transformasi penuh ini. Dalam hal S bukan merupakan monoid, akan ditambahkan elemen identitas dalam kontruksinya.
Makna dan Aplikasi
Teorema ini penting karena menghubungkan teori grup dan semigrup dengan objek-objek konkret (fungsi dan transformasi). Keberadaan teorema Cayley juga memotivasi munculnya kajian “Cayley-type theorem” untuk struktur aljabar lainnya. Aplikasi Teorema Cayley mencakup berbagai bidang seperti kriptografi, teori automata, hingga pemodelan transformasi dalam komputasi.
Kata Kunci: Teorema, Cayley, Matematika
Sumber Referensi:
Howie, J.M., 1996, Fundamentals of Semigroup Theory, Oxford University Press.
Jampachon, P., Susanti, Y., Denecke, Y., 2012, Four-part Semigroups – Semigroups of Boolean Operations, Discussiones Mathematicae General Algebra and Applications, 32 (2012) 115–116. (doi:10.7151/dmgaa.1188).
Surodjo, B., Susanti, Y., 2023, Teori Semigrup, UGM Press.
Penulis: Yeni Susanti