Karakterisasi Penyelesaian Sistem Kesetimbangan Linear Ditinjau Dari Matriks Atas Aljabar Maks-Plus Tersimetri

Penelitian dengan judul “Karakterisasi Penyelesaian Sistem Kesetimbangan Linear Ditinjau Dari Matriks Atas Aljabar Maks-Plus Tersimetri” dilakukan oleh Gregoria Ariyanti dibawah bimbingan Dr. Ari Suparwanto, M.Si. dan Dr. Budi Surodjo, M.Si. pada tahun 2018.

Berikut ini merupakan intisari dari penelitian tersebut.

INTISARI

Aljabar maks-plus adalah suatu struktur aljabar yang terdiri dari himpunan $\mathbb{R}_{\epsilon}=\mathbb{R}\cup \{-\epsilon\}$ , dengan $\epsilon := -\infty$ , dilengkapi operasi maksimum dan operasi penjumlahan. Elemen di dalam aljabar maks-plus yang bukan $\epsilon$ tidak mempunyai invers terhadap operasi penjumlahan. Untuk mengatasi hal tersebut, maka aljabar maksplus dikembangkan menjadi struktur yang lebih luas yang disebut aljabar maks-plus tersimetri. Di dalam aljabar maks-plus tersimetri, didefinisikan elemen invers terhadap operasi penjumlahan, sehingga dapat didefinisikan determinan suatu matriks atas aljabar maks-plus tersimetri. Hal ini merupakan kelebihan dari aljabar maksplus tersimetri, dibandingkan dengan aljabar maks-plus. Tujuan utama penelitian ini adalah ingin mengetahui karakterisasi penyelesaian sistem kesetimbangan linear ditinjau dari matriks atas aljabar maks-plus tersimetri. Adapun tujuan secara khusus yaitu mengeksplorasi matriks invertibel atas aljabar maks-plus tersimetri, menemukan syarat perlu atau syarat cukup untuk penyelesaian sistem kesetimbangan linear $A \otimes x\nabla b$ dengan $A$ matriks bukan persegi ( $A\in M_{m\times n}\in S$ dengan $m\neq n$ ), menentukan nilai eigen dari matriks atas aljabar maks-plus tersimetri, dan mengembangkan diagonalisasi suatu matriks atas aljabar maks-plus tersimetri.

Untuk mengembangkan karakteristik matriks invertibel, dilakukan melalui mengeksplorasi matriks dengan mengacu pada sifat elemen di dalam aljabar maksplus tersimetri yang memiliki invers terhadap operasi $\oplus$ , yang berakibat dapat didefinisikannya determinan. Relasi yang berlaku pada aljabar maks-plus tersimetri adalah relasi kesetimbangan, sehingga sistem linear atas aljabar maks-plus tersimetri tidak berbentuk persamaan tetapi berupa kesetimbangan. Oleh karena itu, sistem linear atas aljabar maks-plus tersimetri disebut sistem kesetimbangan linear. Untuk membangun syarat perlu dan cukup penyelesaian sistem kesetimbangan linear, dilakukan dengan meninjau matriks penyusun sistem kesetimbangan linear tersebut. Penyelesaian yang dimaksud adalah penyelesaian atas himpunan elemen positif, himpunan elemen negatif, dan himpunan elemen setimbang. Suatu matriks pada sistem kesetimbangan linear dapat difaktorkan dan salah satu proses faktorisasi matriks adalah diagonalisasi. Proses diagonalisasi matriks dapat dilakukan setelah ditentukannya nilai eigen dari matriks tersebut.

Dari hasil penelitian diperoleh bahwa suatu matriks $A$ atas aljabar maks-plus tersimetri invertibel jika dan hanya jika $\det^{+}A\ominus\det^{-}A\in S-S^{\ast}$ . Untuk matriks $X$ yang memenuhi $A\otimes X\otimes A\nabla A$ , sistem kesetimbangan linear $A\otimes x\nabla b$ mempunyai penyelesaian, yaitu $x=X\otimes b \oplus (E\ominus X \otimes A)\otimes h$ dengan $h$ sebarang, jika dan hanya jika $A\otimes X\otimes b\nabla b$ . Untuk menentukan nilai eigen suatu matriks atas aljabar maks-plus tersimetri, tidak sesederhana seperti menentukan nilai eigen dalam aljabar konvensional. Oleh karena itu, diperlukan suatu langkah menentukan nilai eigen dengan menggunakan alat yang disebut Masalah Linear Komplementer Diperluas (Extended Linear Complementarity Problem atau ELCP). Persamaan karakteristik yang diperoleh dari suatu matriks atas aljabar maks-plus tersimetri dapat dibawa ke sistem kesetimbangan linear melalui ELCP. Akar persamaan karakteristik yang diperoleh akan merupakan penyelesaian dari sistem kesetimbangan linear, yang selanjutnya merupakan nilai eigen dari matriks tersebut.

Kata kunci : aljabar maks-plus tersimetri, sistem kesetimbangan linear, nilai eigen, diagonalisasi.