FUNGSI KODIFERENSI PROSES MOVING AVERAGE DENGAN INOVASI ALFA-STABLE SIMETRIS

Penelitian dengan judul “Fungsi Kodiferensi Proses Moving Average dengan Inovasi $\alpha$ -stable Simetris” dilakukan oleh Iqbal Kharisudin dibawah bimbingan Dr.rer.nat., Dedi Rosadi, M.Sc., Dr. Abdurakhman, M.Si., dan Dr. Suhartono, M.Sc. pada tahun 2018.

Berikut ini merupakan intisari dari penelitian tersebut.

INTISARI

Pada sebagian besar model statistika mempersyaratkan eksistensi momen orde kedua atau berbasis distribusi dengan varians berhingga. Melalui momen orde kedua dapat dikaji struktur dependensi dari model yang dibangun. Pada pemodelan runtun waktu dengan varians inovasi berhingga (misal model Gaussian), fungsi autokovarians dan fungsi autokorelasi (ACF) memegang peranan penting. Salah satu aplikasi ACF pada pemodelan runtun waktu Box-Jenkins adalah untuk identifikasi model. Pada model MA( $q$ ), fungsi autokorelasi bernilai nol setelah lag ke- $q$ . Sifat penting tersebut digunakan sebagai dasar untuk mengidentifikasi orde $q$ proses MA dari suatu data runtun waktu.

Pada pemodelan runtun waktu dengan asumsi stable kasus non Gaussian, $\alpha < 2$ (varians populasi tak berhingga), secara teoritis fungsi ACF tidak dapat digunakan, karena penggunaan ACF mempersyaratkan varians yang berhingga ( $\sigma^{2}<\infty$ . Oleh karena itu dalam pemodelan runtun waktu dengan asumsi stable digunakan alternatif fungsi dependensi yang lain, seperti fungsi kodiferensi (codifference) atau pun fungsi kovariasi (covariation). Permasalahan tentang fungsi kovariasi dan aplikasinya dibahas dalam Gallagher (2000, 2001). Dalam Rosadi dan Deistler (2011) dibahas sifat umum fungsi kodiferensi sampel untuk model linear stasioner dan sifat asimtotis untuk proses yang iid. Berdasarkan kajian literatur dan sepanjang pengetahuan penulis, kajian tentang sifat asimtotis fungsi kodiferensi sampel untuk model MA( $q$ ) dengan asumsi inovasi berdistribusi stable simetris ( $S\alpha S$ ) untuk $q\geq 1$ masih merupakan problem terbuka yang belum terjawab.

Dalam penelitian ini dikaji sifat fungsi kodiferensi, sifat fungsi kodiferensi sampel (estimator), dan bentuk closed form fungsi kovarians asimtotis normal dari fungsi kodiferensi sampel untuk model MA( $q$ ) $S\alpha S$ . Dengan menggunakan fungsi kodiferensi sampel ternormalisasi, dapat didefinisikan fungsi autokodiferensi sampel (ACodF). Pada penelitian ini juga dikaji simulasi komputasional dan aplikasi fungsi autokodiferensi (ACodF) untuk identifikasi proses MA( $q$ ) dengan inovasi Gaussian ( $\alpha$ ) maupun $S\alpha S$ non Gaussian ( $\alpha <2$ ) menggunakan interval konfidensi asimtotis.

Berdasarkan hasil penelitian diperoleh bahwa estimator fungsi kodiferensi ternormalisasi atau dalam disertasi ini disebut dengan fungsi autokodiferensi (ACodF) sampel proses MA( $q$ ) $S\alpha S$ untuk $k > q$ secara asimtotis berdistribusi normal dengan varians bergantung pada koefisien model. Hal tersebut ditunjukkan dari bentuk closed form matriks kovarians asimtotis fungsi autokodiferensi sampel. Hasil tersebut dinyatakan dalam teorema dan akibat yang disajikan dalam pembahasan. Diperoleh bahwa bentuk matriks kovarians asimtotis fungsi kodiferensi sampel untuk proses MA( $q$ ) $S\alpha S$ merupakan bentuk perluasan (generalisasi) dari bentuk matriks kovarians asimtotis fungsi kodiferensi sampel untuk kasus iid, dengan memandang koefisien-koefisien pada model MA sama dengan nol. Berdasarkan sifat tersebut dapat dilakukan inferensi terhadap ACodF sampel pada model MA( $q$ ) $S\alpha S$ dengan membangun interval konfidensi estimator ACodF model ( $q$ ) $S\alpha S$ untuk $k > q$ . Interval konfidensi tersebut dapat digunakan untuk identifikasi proses MA( $q$ ) $S\alpha S$ . Namun demikian, dalam praktik diketahui bahwa koefisien dari model adalah prameter yang belum diketahui. Oleh karena itu untuk keperluan aplikasi, diusulkan prosedur iteratif dalam identifikasi orde $q$ dari proses MA( $q$ ) $S\alpha S$ .

Kajian simulasi dilakukan untuk melihat sifat asimtotis fungsi kodiferensi sampel secara komputasional. Berdasarkan kajian simulasi diperoleh bahwa identifikasi orde $q$ dari proses MA(1) dan MA(2) dengan menggunakan batas interval konfidensi corrected $\hat{I}$ dari fungsi ACodF sampel dapat memperbaiki performa identifikasi orde yang seharusnya. Hasil identifikasi meningkat lebih baik dibandingkan dengan menggunakan ACF, fungsi autokovariasi (ACovF), maupun menggunakan ACodF dengan batas interval konfidensi MA(0), terutama jika ukuran sampel cukup besar (tidak kurang dari $100$ ). Diperoleh pula berdasarkan hasil simulasi bahwa penggunaan fungsi autokodiferensi sampel untuk identifikasi model MA( $q$ ) dengan batas interval konfidensi ACodF corrected $\hat{I}$ lebih unggul sekitar $59,5%$ sampai dengan $86,8%$ . Hal ini menunjukkan bahwa hasil simulasi mendukung sifat asimtotis fungsi kodiferensi sampel proses MA( $q$ ). Pada bagian akhir, diberikan contoh aplikasi ACodF sampel untuk identifikasi berdasarkan prosedur iteratif pada data harga penutupan beberapa saham yang diperdagangkan di Indonesia.

Kata Kunci: ukuran dependensi, varians tak berhingga, $\alpha$ -stable simetris, MA( $q$ )