Integral Henstock-Kurzweil di Dalam Ruang C[Alfa, Beta]

Penelitian dengan judul “Integral Henstock-Kurzweil di Dalam Ruang C[Alfa, Beta]” dilakukan oleh Firdaus Ubaidillah dibawah bimbingan Prof. Dr. Soeparna Darmawijaya dan Prof. Dr. Ch. Rini Indrati pada tahun 2017.

Berikut ini merupakan intisari dari penelitian tersebut.

INTISARI

Disertasi ini merupakan hasil penelitian dalam mengkonstruksi integral Henstock-Kurzweil fungsi bernilai di ruang $C[\alpha,\beta]$ yang terdefinisi pada selang tertutup $[f,g]\subseteq C[\alpha,\beta]$ , dengan $C[\alpha,\beta]$ merupakan koleksi semua fungsi kontinu bernilai real yang terdefinisi pada selang tertutup $[\alpha,\beta]\subseteq \mathbb$ . Konsep dalam mengkonstruksi integral Henstock-Kurzweil ini mengikuti konsep integral Henstock-Kurzweil pada ruang real yang sudah dikenal selama ini. Pada bagian awal disertasi ini, dikemukakan beberapa pengertian dasar yang terkait dengan ruang $C[\alpha,\beta]$ antara lain tentang sifat $C[\alpha,\beta]$ sebagai ruang Riesz, metrik dan norma bernilai di $C[\alpha,\beta]$ , kekonvergenan barisan dan deret, dan persekitaran titik di dalam $C[\alpha,\beta]$ . Selanjutnya, dikonstruksi kalkulus pada $C[\alpha,\beta]$ khususnya untuk keperluan dalam konstruksi integral Henstock-Kurzweil di dalam ruang $C[\alpha,\beta]$ diantaranya limit, kekontinuan, derivatif fungsi bernilai di $C[\alpha,\beta]$ serta kekonvergenan barisan fungsi. Dalam mengkonstruksi integral Henstock-Kurzweil fungsi bernilai di $C[\alpha,\beta]$ terdefinisi pada selang tertutup $[f,g]\subseteq C[\alpha,\beta]$ , diawali dengan membangun partisi pada $[f,g]$ . Selanjutnya didefinisikan integral Henstock-Kurzweil fungsi bernilai di $C[\alpha,\beta]$ terdefinisi pada selang tertutup $[f,g]$ . Dari pendefinisian ini kemudian dikembangkan sifat-sifat fungsi terintegral Henstock-Kurzweil dalam bentuk teorema-teorema. Dari fungsi terintegral Henstock-Kurzweil, selanjutnya dibangun fungsi primitif Henstock-Kurzweil. Untuk mengetahui sifat-sifat fungsi primitif terintegral Henstock-Kurzweil ini, dibahas pula integral mutlak Henstock-Kurzweil dan kemudian dikembangkan dalam bentuk teorema-teorema. Dalam disertasi ini dibicarakan sekilas integral Denjoy fungsi bernilai di $C[\alpha,\beta]$ yang bersifat diskriptif. Selanjutnya ditunjukkan bahwa integral Denjoy ekivalen dengan integral Henstock-Kurzweil. Untuk bahasan itu dibicarakan fungsi bervariasi terbatas dan fungsi kontinu mutlak. Terakhir dibicarakan beberapa teorema kekonvergenan barisan fungsi ter-integral Henstock-Kurzweil. Tujuan yang diharapkan adalah untuk membuktikan teorema-teorema kekonvergenan, yakni teorema kekonvergenan monoton, teorema kekonvergenan seragam, teorema kekonvergenan terkendali dan teorema kekonvergenan terdominasi, bahwa kekonvergenan barisan fungsi terintegral Henstock-Kurzweil mengakibatkan kekonvergenan barisan yang dibentuk oleh integral-integral tersebut.

Kata Kunci: Henstock-Kurzweil integral, Henstock-Kurzweil primitive, bounded variation function, absolute continuous function, convergence theorem